Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ni números negativos

Cálculo del m.c.m

Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

$\begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$

$72 = 2^3 \cdot 3^2 \,$

$\begin{array}{r|l} 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

$50 = 2 \cdot 5^2 \,$

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

$mcm (72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800$

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común diviso

$m.c.m.(a, b) = \frac {a \cdot b}{m.c.d.(a, b)}$

Propiedades básicas.

El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.

El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.

El mínimo común múltiplo de dos números primos entre si es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1

El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.

El máximo común divisor de varios números está incluid

ejemplos

Allar el m c m de 30y 45

30 2

15 3

5 5

30 = 2 x 3 x 5

45 3

15 3

5 5

45 = 32 x 5

m.c.m. (30, 45) = 2 x 32 x 5 = 90

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viernes, 15 de octubre de 2010

Minimo comun multiplo y Maximo comun divisor